关于宇宙形状的猜想：宇宙可能像一张平坦的白纸、一个球面，又或是一个马鞍面。事实上，这些讨论只涉及了宇宙的曲率，如果要完整地描述宇宙的形状，还要考虑拓扑结构。这样一来，宇宙的形状就不止有这三种二维空间可选了，它还可以是一个"甜甜圈"——这并不是脑洞大开的幻想，而是科学家从宇宙微波背景辐射中读出的信息……
撰文 | 白德凡
审校 | 王昱 吴非
什么是宇宙的"形状"
你或许听说过一些关于宇宙形状的比喻：我们的宇宙像一张平坦的白纸，向各个方向延伸至无穷远，整个宇宙没有边界，大小也是无限的；当然，宇宙也可以不那么平坦，它可能像一个球面，大小有限但是没有边界；又或是像一个马鞍面，同样延伸向无穷远，无限且没有边界。
我们生活在三维空间中，三维空间的复杂几何结构不便于想象，以平面、球面、马鞍面这样的二维空间做类比是理解宇宙形状的好方法。
从数学上来说，平面、球面和马鞍面这三种二维空间之所以看起来如此不同，是因为三者拥有不同的内禀曲率（intrinsic curvature）：平面的内禀曲率处处为零，球面的内禀曲率是正的，而马鞍面的是负的。
所谓"内禀"，意味这几种空间的差别其实不用从更高维的空间观察就能看出来。例如，如果看不到地球的全貌，我们能否判断地球是球面还是平面呢？我们可以找一对经线，它们在赤道附近是平行线，可是沿着远离赤道的方向走下去，这对经线最终会相交于极点处。而在平面上，平行线是不会相交的，这说明地球不是一个平面，而是有正曲率的球面。想象一种二维生物，它们终生被限制在纸面上活动，但通过类似的方法，在纸面上做一些几何测量，它们同样可以判断所生活的空间是平面、球面还是马鞍面。
回到三维空间中，当我们谈论宇宙像平面、球面还是马鞍面时，我们其实是在谈论宇宙的曲率。然而，单靠曲率还不足以决定空间的形状。我们要知晓宇宙完整的几何形状，还需要考察另一样东西。
把一张平坦的纸卷起来，得到一个圆柱面，这个面上的二维生物可以通过几何测量判断自己生活在平坦的平面上，还是"卷曲的"圆柱面上吗？事实上，圆柱面的内禀曲率依然是处处为零的，这意味着二维生物在圆柱面上画的平行线也会永远保持平行，因此上述几何测量不足以区将这两种空间分开。真正将平面和圆柱面区分开的，不是曲率，而是拓扑结构（topology）。
所谓拓扑结构，可以理解成空间在"连续"形变中保持不变的性质——这里的"连续"是指除了"剪切"和"粘贴"外的其他变形方式。比如从平面变成马鞍面，通过连续的拉伸就能实现，所以平面和马鞍面的拓扑结构其实是相同的。而把平面变成圆柱面，则必须把平面的一对对边粘贴起来，这个过程改变了空间原本的拓扑结构。类似地，如果把圆柱面的头尾两个环对接粘贴起来，就得到了甜甜圈的形状——数学上把这种二维空间称作"环面"（torus）——这个过程也改变了空间的拓扑结构。
一只杯子连续变形成一个甜甜圈，二者拥有相同的拓扑结构（图片来源：Lucas Vieira）
于是我们发现，平面、圆柱面和环面这三种二维空间，内禀曲率是相同的，却由于拓扑结构的不同，而呈现出三种完全不同的形状。这说明，一个空间的几何形状是由其曲率和拓扑结构共同决定的。值得一提的是，环面像球面一样，也是大小有限而无边界的。从环面或球面上的一点出发朝一个方向走下去，只要时间够长，总能回到起始点附近。
于是，确定宇宙的形状就分成两步：确定宇宙的曲率，以及宇宙的拓扑结构。可是，宇宙实在是太大了，我们不可能真的在宇宙中画一对平行线，让它们一直延伸下去看看会不会相交，由此判断宇宙的曲率；或是向一个固定方向发射一艘飞船，看看多年后它会不会回到发射点，由此判断宇宙的拓扑结构。科学家们需要想出更实用的方法来完成这两项任务。所幸，有一样重要的观测数据可以担此大任：宇宙微波背景辐射。
大爆炸遗留的痕迹
根据现在通行的宇宙学模型，宇宙起始于一场大爆炸，这场大爆炸在今天的宇宙背景上留下了微波频段的电磁辐射，科学家们称之为"宇宙微波背景辐射"。这种辐射在整个宇宙背景上分布得相当均匀，相当于温度为2.725 K的黑体辐射，然而一些局部区域的温度会略微偏离这个值。如果根据温度为各个区域上色，我们会在整个宇宙微波背景辐射图上看到亮斑与暗斑交替出现，表现出各向异性。各个区域温度相较于2.725K的偏离值被称为"温度涨落"，这种涨落蕴含着宇宙的许多重要信息，其中就包括宇宙的形状。
我们先看看关于宇宙的曲率，温度涨落能告诉我们些什么。
来自宇宙微波背景辐射的光在传播过程中会根据宇宙的曲率发生偏折，这些光到达观测者眼里，使得温度涨落的亮斑看起来和实际尺寸有所不同，这被称为引力透镜效应。如果宇宙的曲率为正（如下图左），亮斑看起来会比平坦宇宙中的更大一些；如果宇宙的曲率为负（下图右），则亮斑看起来会更小一些。根据这条线索，天文学家可以将实际观测到的亮斑大小与理论预测值对比，由此判断宇宙是不是平坦的。
根据1998年毫米波段气球观天计划（BOOMERanG）收集的宇宙微波背景辐射数据，科学家们判断，实际的宇宙和宇宙学标准模型预测的平坦宇宙是一致的。这个结论被科学界普遍接受。这样看来，我们的宇宙更像是一张平面，而不是球面或者马鞍面。
当然，后来也有科学家提出质疑。2019年11月一支国际研究团队在《自然·天文学》发表过一篇文章，根据普朗克卫星拍摄的更为精确的宇宙微波背景辐射图分析得到，实际的引力透镜效应要比预测的更强一些。为了解释这个现象，宇宙的曲率需要是正的，也就是说，我们的宇宙更可能是三维的球面。不过，这个结论也引来了许多争议，比如2020年2月，有研究人员运用新的方法处理普朗克卫星的数据，提出所谓正曲率只是统计上的偏差。目前科学界主流依然认为宇宙是平坦的。
而关于宇宙的拓扑结构，温度涨落又能告诉我们些什么呢？
今年7月发表于预印本网站arXiv上的一篇文章探讨了这个问题。研究人员关注到宇宙微波背景辐射上任意两点的温度涨落的相关性，并把相关性写成两点距离（以角......
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